新蒲京欢迎您官网率先发明十进位值记数法的是中国

十进制系统的完善——辑古数学系列
发布时间:2015-01-15文章出处:中国考古网作者:孟悠悠点击率:
至商时期,可能已形成了完善的十进制系统。商代甲骨文发现数量巨多,其中数学资料也非常丰富,图一为出土的甲骨文上的数字。甲骨文中发现了一到九完整的自然数,10的整倍数,还出现了百、千、三万,形成了完善的十进制系统。新蒲京欢迎您官网 1

率先发明十进位值记数法的是中国

数是人类在长期实践活动中逐渐积累经验而形成的抽象概念。数的主要用途在于表示事物的多少和事物之间的次序。我们熟悉的自然数就具有这两方面的功能。要发挥自然数的功能,必须创造出表达数字概念的适当方式,即记数法。

从世界范围看,人类发明的记数法很多,有二进制制、五进位制、十进制制、十二进制制、二十进制制、六十进制制,等等。根据美国数学家易勒斯调查,在原始各民族307种记数系统中,使用十进制制的有146种;五进位、十进制、二十进制混合使用的有106种。这说明十进制值记数法是人类最常用的。

新蒲京欢迎您官网,为什么十进制制记数法最常用呢?这跟咱们人类自身的身体有密切的关系。咱们人类,不管你有何种肤色、不管你讲何种语言,也不管你属何种民族,都同样长着两只手,每只手各有五个指头。手是人类劳动的主要器官。最初人类计数的时候,最方便的莫过于摆弄手指。伸出或弯曲几个手指就是几。但这最多只能到10,再往下数就没有手指头了。怎么办呢?只得先把10个手指的数记下来,再重新开始数手指头。如此循环往复,自然而然就以十来进位了。

中国数学史的源头可以追溯到旧石器时代晚期。大约从公元前1000世纪到公元前11世纪,这期间里最突出的数学成就是率先发明十进制位值记数法。

在旧石器时代晚期,生活在现今北京西南周口店的山顶洞人已进入氏族社会。氏族内部成员间的自然分工、生产与生活成为有组织的社会性质的活动。劳动果实分配的多与少、大与小,都要与自然分工相应挂勾,以求得分配的相对合理。比如对从事狩猎生产的成年男子,就要多分些食物,而对在洞穴里照顾小孩的老年女子,就会少分些食物,这是维护不同强度的劳动生产活动所必需的,也是维护群体团结和群体发展所必需的。在分配劳动果实的时候,一边是劳动果实、另一边是接受果实的氏族成员;劳动果实与氏族成员成为人类最初形成数量概念的对象和单位。人类最初形成数量的概念,不可能是抽象的自然数,必然是看的见、摸得着的实物,是现实的、具体的量。按理推测,形成数量概念大约从对应关系开始。起初可能是一对一的,比如成年男子分配打猎工具,一人给一件,进而产生“一”和“多”的认识。那时候,人类的数量观念也许只是个基数型,而不是序数型,也就是说,只能点个数而不能排次序。先有基数型概念,再有序数型概念,人类的数量观念前进了一大步。

旧石器时代人类遗留下来的东西只有石器、骨器和角器,而且数量有限,其中含有数目信息的材料更是凤毛麟角,十分难得。在北京西南周口店龙骨山山顶洞遗址中发掘出四个带有磨刻符号的骨管。骨管上的记号为横向磨制,形状多为圆点,而有两个长圆形。其中一个长圆围着骨管成半圆形,如将它们展开成平面则是一个长条形状。骨管A,相对的两个侧面,分别有一个圆点和两个两点。如果将骨管A展开成平面,三个圆点成鼎立状态,连接三个圆点成三角形。骨管B,相对两个侧面,一面有两个圆点,一面有三个圆点。如果将骨管B展开成平面,上面是一排两个圆点,下面是一排三个圆点,连接五个圆点,成梯形。骨管C,相对两个侧面,一面两个圆点,一面一个圆点;两个侧面中间夹一个长条形。如果将骨管C展开成平面,连接三个圆点成一个锐角三角形,三角形当中则是长条形。骨管D,则只有一个长条形。从这些磨刻符号的排列方式看,是有意识的行为,不是随意乱磨刻。据此,我们可以推测出山顶洞人已经有了一些数目概念。

山顶洞人可能用一个磨刻的圆点代表数目“1”,用二个磨刻的圆点代表数目“2”,用三个磨刻的圆点代表数目“3”。骨管两侧的磨刻符号,从数目上看,有累计意义。骨管A,一侧一个圆点加上另一侧两个圆点,共三个圆点,表示“3”。骨管B,一侧两个圆点加上一侧三个圆点,共五个圆点,表示“五”。骨管上磨刻的长条形可能表示“10”,那么,骨管C上三个圆点加一个长条形,表示“13”。骨管D,只有一个长条形,则表示“10”。这四个骨管反映的数目分别是“3”、“5”、“13”和“10”,这反映出山顶洞人已萌发了十进制的思想。

或许有人对山顶洞人用磨刻骨管的方法记数目持怀疑态度,我们认为大可以不必。因为从世界范围看,人类的童年最早使用记数的方法,几乎都是结绳或刻痕。在1939年,外国考古学家在维斯托尼斯发现一根旧石器时代的幼狼前肢骨,上面刻有55道深痕。这是已发现的用刻痕方法记数的最早资料。有此佐证,山顶洞遗址发现的带磨刻符号的骨管是用来记数的,应当可信。

关于山顶洞人生活的年代,过去都讲距今18000年。20世纪90年代初期,北京大学陈铁梅、中国科学院古脊椎动物与古人类研究所袁振新和英国牛津大学海吉斯三位科学家,利用英国牛津大学的加速器质谱碳14测定山顶洞文化的年代,结论是距今2.7万至3.4万年左右。那么在中国,十进制值记数法的起源至迟可追溯到距今三万多年。

另外,在山西朔县峙峪出土的骨片上刻有划的条条痕迹。这些骨片上的刻划痕迹明显带有“分组”的特点,很可能具有数目含义。从刻划痕迹数目的多少,可以推测出其所代表的数目有“1”、“2”、“3”……经碳14测定,这些骨片属于旧石器时代晚期,距有28000年左右。这无疑又为山顶洞人用磨刻骨管来记数目的推测,提供了有力的佐证。

进入新石器时代,伴随着生产规模的扩大,工艺品生产的增加,对数字的要求日益提高,表现数目概念的机会同样增多。

陕西西安半坡出土的陶器上出现排列整齐的点子:第一排一个点,第二排两个点,第三排三个点,如此类推,一直到第八排或第九排,而且这些点间隔倒立,整齐有序;如果将顶端的点用直线连接,则成为一个等腰或等边的三角形。这些点子,清楚地反映了半坡人的数目概念。

随着人们数目概念的增加,简化式数字符号在新石器时代文化遗址中有所发现,例如:12写作“1=”;20写作“||”;30写作“|||”。20和30是10的整倍数,他们的写法就表示10的符号前面添加笔画而形成独立存在的数字。特别值得注意的是12的写法,它是首次出现的由个位和十位组合而成的数字,而且组合手法极其高明,高位在左,低位在右,跟现在的写法完全一致。令人遗憾的是,目前考古发现的字数太少,数字符号不连续。即便如此,这点有限的数字材料传达给我们一个很重要的信息,新石器时代晚期的中国人,记20或30的数目,已经不是刻画20或30条痕迹,而是采用10的倍数法,只刻两三条痕迹,这是简化式数字符号。这种简化式数字符号同时说明当时的中国人使用的记数方法是十进制制。

在青海乐都柳湾新石器时代晚期文化遗址中出现一批带刻口的骨片,长度都是2.3厘米,很小,可是都有刻口。其中,8件骨片一侧有1个刻口,另一侧没有刻口;12
件骨片一侧有1个刻口,另一侧有2个刻口;28件骨片一侧有2个刻口,另一侧有3个刻口。

显然,这些骨片是用来记数的。每一个刻口表示“1”。带三个刻口的表示“3”,带五个刻口的表示“5”。记数时用骨片刻口累计,如“15”这个数,可用三个带5个刻口的骨片表示,也可用5个带三个刻口的骨片表示。更大的数目当然可以用较多的带刻口的骨片表示。如果将这批骨片上的刻口累计:1×8+12×3+28×5=184。这说明在原始社会末期,中国人记数目的本领已经突破十进制制的100大关。

公元前21世纪,中国迈进了文明社会的门槛,建立夏朝。公元前16世纪,商朝取代夏朝。目前,夏朝的文物发掘出来的不多。商朝的文物发现很多,最重要的是甲骨文和青铜器。商朝人把文字刻在龟甲兽骨上,这就是后人所说的甲骨文。商朝人还把文字刻铸在青铜器物上,这就是后人所说的金文或钟鼎文。甲骨文和钟鼎文证明,至迟在殷商时期中国人已经使用完善的十进制值记数法。

甲骨文最初是清朝末年在河南安阳殷墟出土的,后来在其他地方也有发现。甲骨文出土数量巨大,光是殷墟出土的甲骨文就有16万片左右。古文字学家在甲骨文中找出十三个数码,它们是:一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。

从汉字的造字方法上看,前四个数码:一、二、三、四,是象形字;接下去五个数码:五、六、七、八、九,是假借字。如甲骨文的“五”,原来是“午”;甲骨文的“六”,原来是“入”。甲骨文的“百”和“千”,来历尚未弄清。甲骨文的“万”,是象形字,样子很像蝎子。

在甲骨文和钟鼎文中,多位数的写法有两种:一种是行文式,如199,写作“一百又九十九”,这就是说,不同数位之间用“又”字联结。另一种合文式,即把两个数码组合在一起表示具体数目,如30000,就用“三”和“万”组合在一起,写作“”。这是目前在甲骨文中发现的最大数。实际上,只要突破一万的大关,二万至九万就可以顺利些出来。至于10万,应当有新的单位名称。不久,就把10万称为“亿”。商代是否有“亿”,目前还不能肯定。

在《甲骨文合编》中有一片编号37986的卜骨,上面刻有完整的干支表。这个干支表,起于甲子,止于癸亥,说明商朝人已经掌握了60循环,而10和12是60的两个公约数,60是它们的最小公倍数。

总之,一个完善的十进制记数系统,再加上60循环的干支表,充分说明商朝人已经能够有把握地处理和记录任何基数和序数。

应当指出,从原始社会末期到商朝中期,大约七八百年间,有关数字发展的历程几乎是空白的。《史记·夏本纪》上说:夏禹治水时,“左准绳,右规矩”。也就是说,夏禹曾用准绳和规矩进行测量,运用勾股定理进行计算。果真是那样的话,中国人使用十进制值记数法的历史还要提前。

十进制值记数法的奥妙何在呢?自然数无穷无尽。起初,人类对数的认识才到10的时候,就用十个符号表示它们。后来,对数的认识达到了成千上万了……依然沿着旧思路,用几千个,几万个符号去表示它们,就不可能了。因为人们无法记忆和使用那么多符号,更谈不上运用那些符号进行计算了。于是,人们只好另辟蹊径,创造新的记数方法。

事实上,采用几作为进位制并不重要,重要的是建立位值制概念。古埃及采用十进制制,但是没有位值概念,只好用累计方法记数。例如符号“鸟”表示十万,要记“五十万”,就要书写五个“鸟”符号。古巴比伦有位值概念,但是采用60进位制。例如93,写作“”。左边的“”符号,表示“60”,中间的“”符号,表示“30”,右边的“”符号,表示“3”;三个符号和起来,表示“93”。其中“”符号在个位表示“1”,在十位表示“60”,由此看见,古巴比伦人有位值概念,可是采用的是六十进制制。古印度采用十进制值记数法,但那是公元6世纪的事情,比中国晚的太多了。

中国人率先发明的十进制值记数法的关键,一是逢十进一,再是每个数码既有其自身的绝对值,又有其所在位数的十进制的值。例如6,在个位就是它自身的绝对值6,而在十位则是它自身绝对值的十倍──60,在百位则是它自身绝对值的百倍──600。这种数字思想充满着辩证法。它的奥妙在于用有限的符号就可以表示无穷无尽的数,而且简捷、明快,方便运算。著名数学家吴文俊院士在《吴文俊论数学机械化》一书中说:十进制记数法“对世界文化贡献之大,如果不能与用火的发明相比,也是可以与火药、指南针、印刷术等发明相媲美的。”难怪马克思称它为人类“最美妙的发明之一”。

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